| Estrategias en la resolución de problemas de precálculo y cálculo en el segundo de primaria. Segunda |
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| Revista Cognición 14 - Investigación científica | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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ESTRATEGIAS EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PRECÁLCULO Y CÁLCULO EN EL SEGUNDO DE PRIMARIA. Aneliz Cecilia Siles Torrelio
“Todo lo que enseñamos al niño, impedimos que lo invente.” J. Piaget En la primera parte de este estudio se contrastaron cualitativamente los resultados obtenidos en una prueba de Precálculo y Cálculo entre dos grupos de estudiantes de Segundo año de Primaria, de colegios particulares y con características socio-educativas similares, uno en la ciudad de La Paz en el año 1997, y el otro en la ciudad de Santa Cruz en el año 2006. En el presente estudio, se analizan y contrastan los resultados de la misma prueba aplicada entre febrero y marzo de 2006 a dos grupos de once estudiantes cada uno, que cursan el Segundo de Primaria en colegios privados en la ciudad de Santa Cruz de la Sierra. El instrumento utilizado, que se denomina Prueba de Precálculo y Cálculo , consta de dos partes: Nociones de precálculo (con gráficos y figuras) y Operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división en problemas sencillos, con la inclusión de objetos manipulativos (en este caso, cortes de monedas de uso corriente). Incluye una hoja de observaciones para cada estudiante, en la cual se registran las respuestas verbales que apoyan las respuestas escritas, como parte del método semi-clínico utilizado para inferir las estrategias cognitivas. ESTRATEGIAS EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PRECÁLCULO Y CÁLCULO EN EL SEGUNDO DE PRIMARIA. Aneliz Cecilia Siles Torrelio
“Todo lo que enseñamos al niño, impedimos que lo invente.” J. Piaget En la primera parte de este estudio se contrastaron cualitativamente los resultados obtenidos en una prueba de Precálculo y Cálculo entre dos grupos de estudiantes de Segundo año de Primaria, de colegios particulares y con características socio-educativas similares, uno en la ciudad de La Paz en el año 1997, y el otro en la ciudad de Santa Cruz en el año 2006. En el presente estudio, se analizan y contrastan los resultados de la misma prueba aplicada entre febrero y marzo de 2006 a dos grupos de once estudiantes cada uno, que cursan el Segundo de Primaria en colegios privados en la ciudad de Santa Cruz de la Sierra. El instrumento utilizado, que se denomina Prueba de Precálculo y Cálculo , consta de dos partes: Nociones de precálculo (con gráficos y figuras) y Operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división en problemas sencillos, con la inclusión de objetos manipulativos (en este caso, cortes de monedas de uso corriente). Incluye una hoja de observaciones para cada estudiante, en la cual se registran las respuestas verbales que apoyan las respuestas escritas, como parte del método semi-clínico utilizado para inferir las estrategias cognitivas.
Palabras clave : Estrategias intuitivas / Nociones de precálculo / Nociones de cálculo / Constructivismo / Uso de los dedos / Equilibración
En el artículo precedente, se construyó una tabla con las principales estrategias cognitivas observadas y algunas otras que podrían surgir. Dentro de estas, se incluyen las estrategias intuitivas, identificadas como tales, principalmente por el hecho de partir de las estructuras cognitivas y experiencia previa de cada uno de los sujetos. La estrategia intuitiva más utilizada, como apoyo más cercano, que es parte de cada uno de los sujetos es el uso los dedos de la mano, con diferentes variaciones en correlación con el estadio de desarrollo cognitivo de los sujetos de la muestra. La muestra de este estudio sigue la selección del estudio anterior, donde se conformaron dos grupos: uno denominado “experimental” (grupo B) y el otro “de control” (grupo A), ambos con 11 sujetos, todos ellos estudiantes de Segundo de Primaria que asisten a colegios privados (particulares) de la ciudad de Santa Cruz en Bolivia. El acceso a ambas instituciones, y su selección, está facilitada por la experiencia de trabajo de la investigadora en cada una de ellas. Más adelante se caracteriza a cada uno de los grupos de manera más detallada. La obtención de datos se realizó utilizando el instrumento: Prueba de Precálculo y Cálculo, aplicada a ambos grupos para observar las diversas estrategias cognitivas. Los contenidos del instrumento de recolección de datos, se elaboraron sobre la base de la epistemología genética. El instrumento elaborado para este estudio, incluye la posibilidad de realizar las operaciones con el uso de objetos manipulativos: monedas de distinto valor. Lo que cabe destacar es que tanto las monedas (valor y cortes) como las operaciones de adición y sustracción (en algunos casos incluso la multiplicación) son parte del repertorio de conocimientos previos en ambos grupos de estudiantes; sin embargo, antes no habían sido relacionados de la manera en que se les presentó en la prueba. Las operaciones de división, son nuevas para ambos grupos, fueron intencionalmente incluidas en la Prueba de Cálculo con el fin de inferir las estrategias intuitivas que se aplican dada una situación nueva. A partir de ello, se hizo una contrastación y análisis cualitativo entre los grupos. Se incluye la verbalización de las respuestas como elemento principal del análisis cualitativo, y de aproximación a los procesos metacognitivos, tomando en cuenta, en esta etapa de la investigación, los aportes del enfoque socio-histórico de Vigotskii (1995) en cuanto a la importancia de la mediación del lenguaje oral. Las interrogantes científicas que conducen esta investigación, y que devienen de estudios anteriores de la misma investigadora , son las siguientes: ¿Existe correspondencia entre el desarrollo del concepto de número y la resolución de problemas de cálculo en el Segundo de Primaria? ¿Cuáles son las estrategias qu,e con más frecuencia, utilizan los niños en la resolución de problemas más complejos, como los de cálculo (operaciones básicas)?
2. Características de la muestra y su relación con el estadio de operaciones concretas. Los dos grupos de estudiantes de Segundo de Primaria seleccionados, siguiendo con la lógica de estudios anteriores, comprenden a niños y niñas entre los 7 y medio y ocho años. Por lo tanto, comprobando su escolaridad (aprobado el nivel inicial, que comprende dos cursos, y el Primero de Primaria) tienen un conocimiento previo de los números y las operaciones de adición y sustracción, como se evidencia al aplicar el instrumento. En la tabla que se muestra a continuación, se realiza una descripción de las principales características de los grupos seleccionados en la muestra:
Los sujetos de la muestra pertenecen a estratos socio-económicos y culturales similares. La diferencia más significativa entre ambos grupos es la organización curricular en la institución a la que asisten (colegios privados ), el modelo educativo que tienen y en especial el componente de evaluación, desde el punto de vista didáctico, como se explica en la tabla 1. Según el enfoque de la epistemología genética, sobre la cual se basan las contrastaciones empíricas y cuali-cuantitativas del presente estudio, se identifica al estadio de operaciones concretas cuando (...)”la sucesión de números se constituye gracias a operaciones consistentes simultáneamente en sumar de manera inclusiva (clase) y ordenar (seriación) con la operación inversa, que procura la conservación del todo” (Piaget, 1988, p. 178). Piaget (1987) también describe cómo el pensamiento infantil cambia a través del tiempo, describiendo su génesis a partir de las estructuras que continúan desarrollándose a lo largo de la vida escolar, acrecentando de esta manera la comprensión sobre las relaciones entre objetos y promoviendo el desarrollo de nuevas estructuras mentales, dado por el proceso de equilibración cognitiva, que comprende las funciones invariantes de organización y adaptación. Esta última, opera a través de los procesos que Piaget denomina como asimilación y acomodación. Este concepto tiene un origen biologicista, donde se entiende a la asimilación como la forma en que un organismo se enfrenta a algo nuevo, en términos de su actual organización, (...) “toda necesidad tiende a incorporar las cosas y las personas a la actividad propia del sujeto, y por consiguiente, a asimilar el mundo exterior a las estructuras ya construidas (para) acomodarlas a los objetos externos.” (Piaget, 1988, p, 18) Acomodación se refiere a la modificación de esa anterior organización en respuesta a las nuevas demandas, generándose una reestructuración cognitiva y el consiguiente aprendizaje. El proceso regulador entre asimilación y acomodación, es llamado por Piaget equilibración o adaptación como “el equilibrio de tales asimilaciones y acomodaciones.” (1988, op, cit.) Este proceso es considerado, desde el punto de vista pedagógico, como un proceso mismo de aprendizaje, puesto que la búsqueda del equilibrio es lo que lleva a conocer nuevas cosas y a utilizarlas, por ejemplo, las estrategias cognitivas en la resolución de problemas. (...) “ Las estructuras lógicas no se constituyen sino poco a poco en el transcurso del desarrollo del niño, en conexión con el lenguaje y, sobre todo, con los intercambios sociales” (Piaget, 1988, op. cit.) Por esta razón, la investigadora incluye también el punto de vista del enfoque socio-cultural de Vigotskii (1995), ya que el intercambio social que se produce en un medio como el escolar, es de vital importancia para evidenciar los aprendizajes y el uso que se hace de ellos. Dentro de las observaciones realizadas en el presente estudio, se incorporan los datos provenientes de la verbalización (o explicación oral) de las respuestas dadas por los sujetos, con la aplicación de una estrategia cognitiva. Utilizando el lenguaje como instrumento mediador en la identificación de los procesos psicológicos superiores, o las características del pensamiento del sujeto, dado su estadio de desarrollo, se completa la observación cualitativa en la aplicación del instrumento. Para la investigadora, en un primer momento de la investigación, el estadio de operaciones concretas fue identificado como un estado de “limbo cognitivo”, donde se advierten algunas características propias de este pensamiento reversible (concreto), y otras de un pensamiento pre-lógico, que es propio de los infantes según la edad cronológica y las experiencias previas que conforman sus estructuras mentales. 2.1. El pensamiento pre-lógico en transición. Basando el enfoque en la epistemología genética, el concepto de número propiamente dicho, se instaura recién después de que el sujeto pasa del simple hecho de “recitar” las series numéricas, a “comprender” el significado de cada uno de sus componentes. Es decir, que “el momento en que el niño, habiendo llegado a hacer móviles las evaluaciones intuitivas del comienzo, alcanza el nivel de la operación reversible, se vuelve simultáneamente capaz de incluir, seriar y enumerar.” (Piaget, 1987, p.217). Los estudiantes de Segundo de Primaria, observados en la presente investigación, se encuentran aún en un proceso de organización de sus estructuras mentales pre-lógicas. Lo que significa que todavía no son capaces de resolver algunas operaciones que requieren de esquemas mentales más complejos, como los que se requieren para las operaciones de multiplicación, por ejemplo. Cuando “el niño ha establecido la correspondencia entre varios grupos, tarde o temprano se dará cuenta de esta multiplicación y la usará como una operación explícita” (Piaget, 1952: p.203-204). Recién en este momento comprenderá que la multiplicación es la repetición de n veces un determinado número y, su resultado, también podría ser el resultado de una suma en n veces el mismo número, aunque la mecánica de la operación haya sido enseñada en el colegio. Es evidente, por los resultados en la prueba de cálculo , que a la edad de los estudiantes observados no se cumple con el completo desarrollo del pensamiento concreto, sin embargo, se puede ya decir que tienen un pensamiento lógico abstracto en transición, o lo que Piaget denominaría “reflected abstraction” o abstracción reflejada (o reflexiva). Con esto se refiere al proceso de integración de las actividades cognitivas existentes hacia nuevas formas. “(...) El proceso constructivo general de las matemáticas ha servido para construir el álgebra desde la aritmética, como un conjunto de operaciones en operaciones” (Piaget, 2001). 2.2. La llegada del pensamiento concreto. Esta estructura mental puede producirse en diversos niveles de abstracción. En el período de desarrollo que concierne al presente estudio las estructuras previas, presuponen el poder realizar clases de objetos, a través de las agrupaciones, y sus relaciones entre unas clases y otras (clasificación por diversos criterios: tamaño, forma, etc.), como los que implica resolver la prueba de Precálculo y Cálculo del presente estudio. Como la teoría de Piaget lo manifiesta, el aprendizaje es un proceso que se produce internamente, pero con ayuda de las relaciones que el sujeto establece con su entorno. La investigadora se adhiere a este criterio, pues con esta experiencia ha evidenciado que deben existir estructuras previas para que se dé el aprendizaje, entrando aquí en conflicto con la posición Vigotskiiana que sostiene que es el medio socio-cultural el que facilita, a través del aprendizaje, el desarrollo de las estructuras mentales. Sin embargo, se comparte dicha postura por el hecho de utilizar el lenguaje como mediador, primero como una simple función de comunicación y luego como función de regular el propio comportamiento, o entendido como la forma metacognitiva de comprender el proceso (estrategia cognitiva) que lleva a la resolución de problemas. Por tanto, en este periodo en transición, los estudiantes han de requerir el apoyo de material concreto que le permita comprender la relación existente entre el número y la cantidad expresada en él: concepto de número. Así tanto las condiciones sociales (el intercambio regulado de informaciones entre pares y con adultos) como las condiciones de experiencia física (manipulación de objetos) (...) “serán las que determinen el perfeccionamiento de lo que la maduración hace solamente posible” (Piaget, 1988, p.171), mediados por el lenguaje, como una forma de intercambio de experiencias y de facilitar los procesos metacognitivos.
3. Resolviendo problemas de precálculo y cálculo antes de los ocho años. En el periodo de desarrollo del pensamiento concreto, en un modelo ideal, el niño debiera pasar de la manipulación de objetos (incluyendo los propios dedos, aunque no son objetos externos a él) hacia la ausencia de apoyo de objetos manipulativos. Sin embargo, varios estudios (Fennema,1972; Moody, Abell & Bausell, 1971) sobre la importancia del uso de elementos manipulativos, tienen resultados encontrados, puesto que al menos cuatro de quince estudios realizados en nivel pre-escolar (inicial) han reportado diferencias significativas favorables en el grupo que sí utilizó manipulativos y los que no lo hicieron; por otro lado, Fennema (1972) encontró que de cuatro estudios realizados, uno de ellos no reportó ninguna diferencia a favor de los manipulativos y, de siete nuevos estudios, tres reportaron datos mixtos. La resolución de problemas tanto de precálculo como de cálculo (operaciones aritméticas básicas) en opinión de la investigadora, requiere aún de algún objeto manipulativo, puesto que lo que se busca es observar las estrategias intuitivas, bajo el supuesto de que todavía se requieren apoyos concretos en la resolución de problemas de cálculo. A continuación se describe cada uno de los momentos en la resolución de estos problemas según las respuestas emitidas por los sujetos de la muestra, de donde se obtienen los datos cuantitativos (puntajes por respuestas acertadas) y los datos cualitativos (el apoyo verbal u oral para las respuestas tanto acertadas como erróneas), de donde se pone en evidencia tanto el estadio del pensamiento como el uso de estrategias intuitivas (como parte de su repertorio de estrategias cognitivas). 3.1. Las nociones precálculo en la resolución de problemas. Estos problemas, tal y como se presentan en la prueba de Precálculo, no revisten mayor dificultad a la edad de 7 años dada la experiencia escolar que tienen los estudiantes y el desarrollo de estructuras mentales logrado hasta el momento, como se evidencia en los cuadros del Anexo 5, donde hay una equivalencia casi total entre el puntaje promedio esperado (respuesta esperada por la investigadora) y los puntajes que obtuvieron los sujetos (respuestas acertadas), como datos cuantitativos. Estos resultados se han obtenido al otorgar un punto (una unidad) a cada respuesta acertada, simplemente para reflejar cuantitativamente la aplicación de la prueba en cada uno de sus incisos e itemes. Sin embargo, las respuestas y observaciones se verifican y contrastan cualitativamente, con el fin inicial de verificar si estas respuestas correctas, además de indicarnos que las nociones de precálculo están presentes en todos los sujetos, sirven de base como estructura cognitiva previa, para resolver problemas de cálculo que se les presentan a continuación en la misma prueba. Los resultados obtenidos en el Grupo de Control, ya fueron analizados con mayor detalle en un artículo científico anterior , por lo cual se dan ejemplos de respuestas únicamente en el Grupo Experimental y, posteriormente los comentarios de la contrastación de ambos grupos. El conocimiento de los números, con relación a su cantidad, es algo que se adquiere de manera progresiva. A esta edad es común que los estudiantes reconozcan perfectamente los números menores a cien, por lo que, en muchos casos, cuando se les pregunta cómo se llama este número (inciso A.4.4. y A.4.5.) los estudiantes suelen responder cosas como: 69 : “Sesenta y nueve” (en todos los casos, fue una respuesta correcta) Al parecer los estudiantes ya han oído números que tienen que ver con la centena, pero no pueden identificarlo como “setecientos veinticuatro” y recrean las posibilidades de combinación de números conocidos, recurriendo a sus estructuras previas. Podemos aquí conjeturar la presencia de un momento de desequilibrio cognitivo, del cual no salen hasta que se les indica el verdadero nombre del número señalado. Utilizan, sin embargo, estrategias propias de la estructura cognitiva que poseen, su conocimiento previo es la decena, por lo tanto, tienden a agrupar por decenas un número de tres cifras. Correspondencias término a término (B) Los estudiantes del Grupo Experimental siempre contaron todos los puntos (o bolitas), incluso el último, aún cuando no había otra posible respuesta que buscar. Esto constata que todavía su pensamiento no les permite realizar inferencias de ese tipo, como las de suponer que el último número será el resultado correcto de la última correspondencia y no es necesario contar los puntos. Existen, sin embargo, algunos estudiantes que demoraron menos tiempo en la resolución de la prueba debido a que sí obviaron el innecesario conteo de la última pregunta, o problema, en cada grupo de preguntas: OBSERVACIÓN 2, D.C. (7;1 ): “El más fácil era 3+3 y los demás los conté; pero el 9, como era el último, sabía que era éste (señala las bolitas)” Clasificación (C ) En la pregunta del inciso C.1., con un ejemplo que se aprecia en el Anexo 1 (CUADRO 2), los niños tienden, al momento de clasificar los colores iguales en un grupo de figuras diferentes (polígonos), a incluir también aquellos que son parecidos, como el color rosado y el naranja junto con los rojos. Un estudiante en particular, utilizó diferentes colores de marcador para realizar grupos incluso en los que había sólo un elemento, logrando así encerrar en una clase diferente a todos los elementos que se le mostraban. En el inciso C.3.1., donde se presentan diferentes tamaños de números desordenados, entre los cuales están los que van del 1 al 9, repetidos varias veces y en diferentes lugares, los estudiantes del Grupo Experimental responden de diferentes maneras: OBSERVACIÓN 1, A.M.A.S. (7; 1): “Estos son más grandes”. Al realizar la prueba de clasificación en el que debe encerrar los números grandes, encierra los números 6 y 7 individualmente, incluyendo los que son también pequeños en tamaño. Su apreciación de número grande es el del tamaño del número en cuanto a su valor, por lo tanto el 6 es un número grande con respecto al 2 o al 1. Aquí se evidencia el concepto de número, en casos como el de A.M.A.S. Otros encierran los números 6,7 y 8 que son los más próximos unos de otros pero no porque sean los más grandes en tamaño, sino también por la cantidad que representan. Esto se pudo observar en ambos grupos. Las estrategias que aplican los estudiantes son solamente las de observar y copiar, en su mayoría sin el proceso de reflexión o de inferencia, que tiene un grado mayor de abstracción lógica. Seriación (D) Una estrategia interesante, utilizada por un estudiante del Grupo Experimental, es la siguiente: OBSERVACIÓN 2, D.C. (7;1): “Conté las rayitas”. (Cuenta con la vista) En la siguiente parte, casi invariablemente, los estudiantes de ambos grupos, colocan la continuación de la serie (D.2.2) de forma que ésta vuelve a comenzar desde el principio. Esto demuestra que el desarrollo cognitivo no les permite aún continuar la serie ascendente de la manera correcta y se limitan a copiar lo que tienen. Sólo un estudiante del Grupo de Control y dos estudiantes del Grupo Experimental lograron completar correctamente la serie continuándola de forma ascendente, pero hubo un caso en el que el estudiante realizó correctamente esta parte y no consiguió completar la serie numérica siguiente (D.2.3.). Analizando desde el punto de vista piagetiano, esto puede deberse a que, como se mencionó anteriormente, no todos los componentes se desarrollan al mismo tiempo, así los niños se dan cuenta de unos aspectos y los reconocen y no así de otros. Otro estudiante del Grupo Experimental respondió correctamente a la seriación de números (D.2.3.) donde el conteo es de dos en dos: “Desde el Kinder contaba con mi mamá de dos en dos sus empanadas para vender”. Hizo una abstracción que le permitió transferir ese conocimiento empírico, ya configurado en sus estructuras cognitivas, para resolver una nueva situación problemática. Conservación de la cantidad (E) Sin el apoyo de la respuesta verbal, no podríamos llegar a conocer la manera de pensar y reflexionar de los niños, ya que el sólo colocarla resulta incompleto e insuficiente para el análisis cualitativo. Una interesante verbalización, que se podría denominar especulativamente como de “lógica inversa”, es la que da un estudiante, al decir que a es más larga que b y justificar de esta manera: OBSERVACIÓN 3: M.J.G. (7;9):“Es que ésta (b) era más larga, pero la doblaron, entonces quedó más pequeña”. Otros dan la respuesta correcta: b, pero la explicación que acompaña es todavía de tipo perceptivo-visual: OBSERVACIÓN 4: D.V.CH. (7;10): “Es que la puntita es más larga en b” La respuesta esperada, que implica ya una representación mental de los objetos, o la capacidad de imaginarse algo sin necesidad de verlo, es como la de: OBSERVACIÓN 6: S.P.O. (7;8): “Esta parece igual (b), pero está arrugada, si se la estira, es más larga”. En este grupo solamente 5 estudiantes dieron la respuesta acertada. Y en el Grupo de Control fueron 4, con respuestas igualmente acertadas como peculiares. Se trata de un punto importante para observar el desarrollo de razonamientos de inferencia a partir de lo que observan. En lo referido a la conservación de la cantidad en conjuntos (E.2.), en la misma página de la Prueba de Precálculo, los estudiantes responden que la cantidad de bolitas contenida en el frasco grande es mayor, lo cual hace que la explicación de Piaget a las respuestas intuitivas guiadas por la percepción y la asimilación de los objetos sea evidente. Cabe destacar que, incluso para un adulto, el decidir cuál contiene más o si son iguales es un asunto de percepción, ya que, sin contarlas, no se puede decir si tienen igual cantidad o no. Al cerciorarse (contando) que ambos lados existe igual cantidad de bolitas, las siguientes preguntas no revisten mayor problema, pues responden sin vacilar que en ambos grupos hay lo mismo. Finalmente, en el inciso E.3., sobre conservación de la cantidad en objetos, sólo un estudiante respondió que había más en a, donde hay 4 monedas de 5Bs calcadas contra 4 caritas dibujadas, aduciendo que allí había más porque las monedas “valen más que las caritas”, otorgándole un valor que no se había presupuesto, para las monedas. En resumen, los estudiantes de Segundo de Primaria de ambos grupos, evidencian las nociones de precálculo, según la teoría constructivista de Jean Piaget, dado que no tuvieron dificultades de percepción, conceptos o semántica, para resolver cada uno de los incisos que se les presentaron. 3.2. Resolviendo problemas de cálculo aritmético. En la segunda parte de la prueba, se identificó a un grupo de estudiantes que, aunque no fueron capaces de resolver correctamente los problemas que se les presentaron, pudieron hacer uso de ciertas estrategias que demuestran su desarrollo cognitivo en traspaso de un estadio pre-lógico a uno de operaciones concretas. Como ya se mencionó antes, al momento de la aplicación de la prueba (entre febrero y marzo) los estudiantes llevan apenas los primeros meses de clases y no conocen las operaciones de multiplicación y división, pero fue una forma de aproximarse de manera más objetiva a las “estrategias intuitivas”. Los resultados que aquí se muestran corresponden a ambos grupos, es decir el Experimental y el de Control. A fin de otorgar un objeto manipulativo conocido y cotidiano, se incluye el uso de monedas (de diversos cortes), las cuales se pusieron a su alcance. En esta parte de la prueba, se presenta ante los estudiantes una serie de adiciones y sustracciones con números de cantidades discretas menores que la centena. Por otro lado, en la parte de multiplicación y división, los estudiantes utilizaron más que estrategias, un despliegue de pensamiento creativo, en el cual demuestran el potencial para resolver problemas de cálculo que desconocen, como parte de su repertorio intuitivo. Adición y sustracción (D) En muchos casos, los estudiantes comienzan por las operaciones que a la vista parecen ser las más fáciles , como el 3+3+1, pero se les advierte que no todos los resultados pueden corresponder a las adiciones y sustracciones que se les muestran. De tal manera que se ha colocado intencionalmente una respuesta equivocada ya que el resultado del inciso e (60+5+20-3=72) no está en ninguna de las respuestas posibles. Suponemos que por esta razón es que el siguiente paso después de resolver 3+3+1 es buscar el resultado del inciso e y verificar que no tiene correspondencia. La respuesta general fue: “El resultado no está aquí”. Sin embargo, hubo otros estudiantes que respondieron todos los demás problemas y dejaron este inciso, que al parecer es el más difícil, y concluyeron simplemente marcando como correcto el 72, sin realizar las operaciones de adición y sustracción. Analizando estas respuestas, podemos decir que se trata de una inferencia, aunque errada, del resultado. En el Grupo Experimental algunos estudiantes utilizaron la suma vertical, la misma que realizaron a un lado de la horizontal que se les presentó, para poder encontrar el resultado correcto en el inciso e. Una estrategia recurrente, como vimos anteriormente es el conteo con los dedos, por unidades, generalmente comenzando por los números que faltan: OBSERVACIÓN 4: D.V.CH. (7;10): (Comienza contando en voz baja mirando los números y sumando unidades con los dedos. Saca las monedas, pero no sabe cómo usarlas. Trata de esconder las manos al utilizar los dedos.) Al referirse al resultado de 40-10: “Pero este no puedo”. (No reconoce las decenas.) OBSERVACIÓN 6: S.P.O. (7;8): “Esto es 3+3=6+1=7 con un 0 es 70”. (Se observa el manejo de unidades y decenas, por lo tanto un concepto de número ya consolidado.) OBSERVACIÓN 6, S.P.O. (7;8): “6,7,8 son 80... Ah, no, estoy mal. 5,6,7,8 son 88. Estoy mal”. (Intenta resolver 60+5+20-3 contando las unidades por separado). “6,7,8 son 80 más 5 son 85, menos 3 son 82”. (Finalmente lo consigue, pero no encuentra en las posibilidades la correspondencia con su respuesta. Se le explica que está bien así). En este caso el conteo de unidades primero y luego la adición de decenas resulta fácil, pues éstas son 0 unidades (80, 20), pero resultara confuso cuando ya se le adicionan otras unidades (85) y requiere el apoyo de los dedos de la mano para llevar la cuenta que hacía en la cabeza: OBSERVACIÓN 7: C.A.S.T. (7;2): “Conté 3+3 y es 6 y 1 más es 7” (Para resolver 60+5+20-3 explica) 60 con 5 es 65, con el 20 es 72 y con el 3... no, es 60 y con el 3 es 72” (Intenta que el resultado que obtiene corresponda con el resultado que observa, aunque se le haya dicho previamente que puede no estar allí). De alguna manera, este estudiante, evita realizar las operaciones que son más difíciles (con decenas) buscando una conciliación entre su desequilibrio cognitivo y sus conocimientos previos. Intenta justificar realizando una operación de cálculo cualquiera. Su estrategia es, sin embargo, memorizar los resultados de los números que conoce: “Yo practico 10+10=20 y así me aprendo”. Otras observaciones nos muestran otras estrategias: OBSERVACIÓN 8: I.R.G. (7;9): “Guardo 30 en mi cabeza y le pongo 30; 3+3 es 6 y 0+0 es 0, entonces es 60” (Trata de encontrar el resultado de 30+30+10, pero lo hace agregando unidades en su cabeza) “Más 10 es... 69, no hay el resultado aquí” (No revisa si se equivocó en la adición). Al igual que en 40-10, no se fija el signo ni la decena: “Es 41, tampoco hay el resultado”. (Descuenta luego con los dedos, comenzando del 40 y va para atrás de uno en uno, finalmente llega al 30). Algo que llama la atención en el Grupo de Control es el temor que demuestran de responder erróneamente: M.B.C. (7;6) “¿No me voy a sacar mal si hago así?”. Podemos deducir que también esta prueba la consideran “calificable” desde el punto de vista de la “nota”. Por otro lado, deducimos que esto disminuye su capacidad de expresarse libremente en las respuestas verbales, en las que explican la estrategia que han utilizado, convirtiéndose en una limitante para el estudio con este grupo, aunque se pudo obtener la mayoría de las respuestas verbalizadas: OBSERVACIÓN 9: M.B.C. (7;6): “¿Y si me saco mala nota?” (Se la anima a seguir buscando el resultado, recurre a las monedas pero no sabe cómo usarlas, no logra encontrar el resultado de 60+5+20-3 y sólo se guía por el resultado que falta: 72; los demás los suma con los dedos). Multiplicación y división (E) OBSERVACIÓN 2, D.C. (7;1): “¿Cómo es la división? Creo que las divisiones son como cuatro veces el 5“. (Para responder a 20/5 coloca 5). “Primero sé que 7+7 es 14 y ya supe el resultado” (de 4x7=28). “Si este es 28 (4x7) yo creo que éste debe ser 208” (4x70). “Primero veo si hay decenas, prefiero hacer con mi cabeza porque ya sé bien hasta las decenas” (Calcula con sus dedos) “40+40 y lo dividí entre las decenas en mis dedos” (Coloca 160 como resultado para 40/8). OBSERVACIÓN 7: C.A.S.T. (7;2): (Para resolver 20/5) “Es que 5+5+5 son 15 y 5 de 10, serían 10.” (4x7) “En mi cabeza conté 7 veces el cuatro, es 34” (Aunque la operación es acertada y comprende lo que es la repetición de un número por n veces, el resultado al que llega es incorrecto, ya que realiza conteos en la cabeza y se equivoca. Luego realiza una inferencia intuitiva para el 4x70 y sin verificar coloca: 134) La mayoría de los estudiantes observados no quisieron realizar esta parte de la prueba, aún cuando se les había indicado que podían poner el resultado que ellos quisieran, aquél que les pareciera correcto según lo que ellos creían. Aún así, dijeron “no sé”. Es así que, al igual que en el Grupo B, los estudiantes del Grupo de Control primero exteriorizaron su sorpresa y luego expresaron su aún incapacidad de realizar multiplicaciones y divisiones, verbalizando cosas como: “No sé, eso no puedo”. Sin embargo, al incentivarlos a responder, aunque la respuesta estuviese equivocada, ellos intentaron y respondieron algunas cosas interesantes: OBSERVACIÓN 1: B.T.P. (8;1): “A ver, si es como si hay 5 niños y tengo 20 manzanas, ¿a cuánto le toca a cada uno?” (Intenta resolver 20/5, hasta aquí su razonamiento es correcto y es lo que sabe sobre las divisiones, toma las monedas para usarlas como fichas, las mueve de un lado a otro haciendo pares de monedas.) “Es 22!” (Aunque su resultado es incorrecto, ha intentado distribuir equitativamente las monedas, lo que cuenta para él son las monedas que tiene y no así las veces que ha distribuido (4) o a cuántos (5). Algunos niños justifican el hecho de no poder resolver las operaciones a que todavía no lo vieron en el colegio, incluso no comprenden el significado de los términos que se usan: MFMF (7;9) “¿Qué es por?”, refiriéndose al signo de multiplicación cuando se le lee la operación “cuatro por siete”. Otros, en cambio se dan cuenta que significa una manera diferente de sumar: OBSERVACIÓN 7: M.G. (7;10): “Contando 7 veces el 4, conté (muestra los dedos) de 7 en 7”. Se observa, entonces, que las nociones previas que permiten la resolución de problemas de precálculo, facilitan la resolución de los problemas de adición y sustracción. Sin embargo, como se evidenció en esta experiencia, la resolución de problemas más complejos, como multiplicación y división, aún requieren de otros conocimientos. Pese a ello, los sujetos de este estudio, utilizaron diversas estrategias intuitivas para resolver los problemas nuevos que se les presentaban.
4. Estrategias utilizadas en el Segundo de Primaria. La investigadora comparte, con el enfoque piagetiano, el hecho de que el ser humano no nace con un conjunto de estructuras cognitivas preparadas, sino que se van construyendo a lo largo de la infancia y adolescencia gracias a la interacción con los objetos de su entorno. De esta manera se puede comprender cómo no todos los niños siguen los mismos patrones de desarrollo a la misma velocidad ni al mismo tiempo. Por lo tanto, el desarrollo de las estrategias es algo que ocurre de manera individual gracias a las diversas oportunidades que tiene de asimilar el mundo y la necesidad de resolver problemas, que lo llevan al descubrimiento y a la formación de nuevas estructuras. Dentro de este repertorio de estrategias cognitivas, se han evidenciado tanto en la primera parte de este estudio, como en el presente, que los estudiantes utilizan estrategias intuitivas para resolver problemas nuevos. Piaget (1994) mostró gran interés en determinar las diferencias entre el éxito y la comprensión, entre ser capaz de hacer algo y ser “reflectivamente” consciente de cómo se logró hacerlo. Esto es lo que más adelante se denominaría por otros investigadores (Flavell,1979) como la metacognición, o la manera cómo nos hacemos conscientes de lo que sabemos, puesto que el hecho de saber algo no implica necesariamente que uno sepa cómo lo sabe. Para los niños resulta muy complicado explicar de qué manera resolvieron un problema y poder determinar la estrategia que han utilizado. Por ello es necesaria la observación directa y la búsqueda de una explicación verbal por parte del niño observado, dándole la oportunidad de ir explicando a medida que resuelve, como acompañando el proceso. Es así como se hace evidente la necesidad de incluir el lenguaje oral (que aquí se ha denominado verbalización) como un instrumento mediador en el proceso metacognitivo hacia una comprensión de la estrategia utilizada. En algunos casos, los estudiantes relacionaron el hecho de no poder resolver alguno de los problemas (como los de adición con decenas) a que “en eso tienen mala nota”, o a que “no pueden hacerlo bien todavía”. La investigadora se pregunta entonces, a manera de reflexión, si habría alguna relación de correspondencia entre el hecho de obtener malas calificaciones reiteradamente y el desarrollar una aversión hacia las matemáticas, lo cual parece ser un signo evidente de desmotivación escolar en esta área. O más bien, debería verse como una no correspondencia entre el insuficiente desarrollo cognitivo de tipo lógico matemático de algunos estudiantes y el elevado grado de exigencia escolar, que se traduce en un fracaso en esta área, con su consiguiente rechazo. Como se observa en el cuadro de estrategias , donde se realizó un conteo de las veces en que una estrategia se utiliza, las que más se repiten en ambos grupos, son las de “contar con la vista, tratando de esconder los dedos” y la de “conteo de unidades con los dedos”. De esta forma se realiza una operación llevando la cuenta en la memoria, en el caso de decenas, pero evitando ser vistos en esta práctica, como si fuese un signo de no poder aún resolver problemas de adición y sustracción “mentalmente”. Igualmente, la “agrupación de números” y el apoyo en algún objeto concreto para realizar las operaciones, tomando las monedas y tratando de usarlas como fichas. Una estrategia observada repetidamente en ambos grupos para responder a la secuencia numérica incompleta, es la de fijarse en los números anteriores y realizar una operación: 23+3 = 26, para darse cuenta que la serie es de 3 en 3. Esta estrategia “inventada” (Groen y Resnick, 1977) que para la presente investigación se denomina “intuitiva”, se refiere a realizar una adición y una sustracción, para continuar la serie. A partir de la evidencia de esta habilidad cognitiva, los niños pueden llegar a resolver operaciones con cantidades superiores e incluso incursionar en la multiplicación y la división. Para resolver la multiplicación, que aún no ha sido parte de los contenidos escolares, los estudiantes intentan sumar los números, pero no hacen ninguna operación en la hoja, tampoco hacen anotaciones, solamente cuentan unidades y tratan de llegar a un resultado que les parece razonable, por la correspondencia de decenas o centenas que se presentan. En el caso de la división, un estudiante la entendió como 20 menos 5 veces (20/5), a manera de aplicar la estrategia de la multiplicación en algo que le es desconocido (división). Otro, que resolvió la prueba de cálculo con facilidad, al interrogarle sobre sus estrategias, se limitó a contestar que pasa clases de matemáticas y que le gusta. Una estrategia, relacionada con el aspecto metacognitivo y que todavía no se hace presente, es la de verificar el resultado o la respuesta que van colocando por sí mismos, ya que una vez que la ponen esperan una respuesta gestual o verbal del observador. Al no haber ningún signo de aprobación o desaprobación, concluyen y no revisan si su resultado es el correcto. Aún teniendo la facilidad de borrar (marcador no permanente sobre superficie lisa) no lo hacen.
5. Conclusiones y nuevas líneas de investigación. Al observar las similitudes en las respuestas de los sujetos de ambos grupos podemos concluir que en ambos se comprueba la presencia de las nociones de precálculo, como paso previo necesario para la instauración del concepto de número. Tanto lo referido al conocimiento de los términos (grande, pequeño, lejos, cerca, antes, después, primero, último, etc.) como de las relaciones que ellos establecen de correspondencias, clasificaciones, seriaciones y conservación de la cantidad. En general, con excepción del significado de la palabra “angosto”, que no comprendieron en ninguno de los dos grupos y fue cambiado por “delgado” o “flaco”, todos los demás términos que indican nociones topológicas y temporales, no representaron interferencia. De la misma forma, en la resolución de problemas de adición y sustracción, se observan respuestas muy similares, lo cual evidencia su conocimiento de los números cardinales menores a 100. Se puede concluir entonces que existe una relación de correspondencia entre las nociones de precálculo y la capacidad que demuestran, todos los sujetos observados, para resolver los problemas de adición y sustracción. Sin embargo, en ambos grupos, los sujetos dieron respuestas únicamente aproximadas o “adaptadas” a sus estructuras pre-existentes, en lo referido a las operaciones de multiplicación y división. Consecuentemente, se asume que el concepto de número está en pleno desarrollo. Un hallazgo significativo en esta investigación, es el referido a las estrategias con conteo de unidades (sea con la vista, con los dedos o con las monedas) que utilizaron en cinco ocasiones en el Grupo de control y en siete ocasiones en el Grupo experimental, que se asumen como una interferencia, o lo que se puede denominar como una estrategia intuitiva limitante. Se ha observado que al hacerlo tienden a perder la cuenta y errar en el resultado, sobre todo cuando se trata de operaciones con cantidades mayores a la decena. En cuanto a las diferencias, la más significativa entre ambos grupos fue que en los sujetos del Grupo Experimental se notó menos tensión y menos temor a “no hacerlo bien”, por lo tanto, más facilidad para verbalizar sus respuestas. En este sentido, los estudiantes del Grupo A (Control) fueron algo más reacios a verbalizar sus estrategias y además demostraron temor al error y a la “mala nota”, algo que es muy importante en el enfoque del colegio al que asisten. Lo que nos lleva a preguntarnos para una siguiente investigación: ¿De qué manera influye el temor a la mala nota, que se obtiene en un examen, en el rechazo o aceptación hacia el aprendizaje de las matemáticas? Se observa también una espontánea evolución de la aritmética, guiada obviamente, por el desarrollo de un programa escolar secuenciado. Sin embargo, la percepción puramente empírica (no reflexiva) de los objetos, cantidades (en este caso cantidades discretas), no llevará hacia una construcción adecuada de nuevas estructuras mentales que promuevan un desarrollo del pensamiento abstracto. Es necesario que el niño pase del simple uso de la estrategia a la comprensión de su utilidad y aplicabilidad en otras situaciones similares. La estrategia más utilizada por ambos grupos es la del uso de los dedos, aún cuando intentan esconderlos de la vista del observador y pretender hacer un cálculo mental. Se asume que esta situación obedece a la insistencia, por parte de los maestros, en evitar el uso de los dedos para realizar operaciones aritméticas dentro del aula. Sin embargo, esto no condice con el estadio de desarrollo cognitivo en que se encuentran, ya que la investigación sostiene la postura de que, en los primeros aprendizajes, aún requieren de un apoyo concreto para realizar las operaciones (aunque se trate de un objeto no manipulativo, como el uso de los dedos) . A partir de este hallazgo se propone una nueva línea de investigación, que tiene que ver con el enfoque didáctico escolar: ¿Es el uso de los dedos aceptado como paso previo al cálculo mental que propicia el colegio? En cuanto a los procesos de enseñanza y aprendizaje: ¿Qué estrategias se pueden desarrollar a partir del uso de los dedos para hacer cálculos que superan la decena? Que se dejan abiertas, al igual que la anterior a futuros investigadores interesados en el estudio del tema. Para proseguir con el estudio en una siguiente fase, se partirá de la evidencia empírica de que los estudiantes de segundo de primaria reconocen los numerales y pueden realizar, al menos, operaciones de adición y sustracción; pese a que el proceso de resolución de las operaciones de multiplicación y división es aún desconocido, por lo que la tendencia general es a no querer responder. Esto lleva a proponer continuar la indagación sobre la base de la siguiente interrogante: ¿Cómo puede un estudiante a la edad de 8 años, predecir el resultado de operaciones de cálculo, e incluso relacionarlo con la operación, aunque no lo haya aprendido en el colegio? Se abordará, en una siguiente fase de la investigación, el problema relacionado con las estrategias intuitivas, su evolución y el tipo de pensamiento que han desarrollado los sujetos de la muestra, luego de unos meses más de escolaridad. Siles A. (2006). Estrategias en la resolución de problemas de precálculo en el segundo de Primaria. Primera Parte: Experiencias recogidas en dos escuelas urbanas de Bolivia. El cuadro con las Estrategias más utilizadas en la resolución de problemas de Cálculo, se observa en el Anexo 4 (CUADRO 8). Estudios de Siles A. sobre Las operaciones de adición y sustracción en el Segundo de Primaria, artículo sobre el estudio denominado “Adición y Adición y Sustracción de saber cotidiano en menores no escolarizados que trabajan”(1997) publicado en 2006 en Revista Científica AD-Astra, Sucre, Bolivia. También la primera parte del presente artículo. Ambos de la misma investigadora. Referirse a los Anexos 5 y 6 donde se muestran los puntajes promedios comparados, en los cuadros (9 al 12) elaborados sobre la base de las respuestas de cada uno de los grupos. Estudios al respecto de Jean Piaget, Piaget's theory (traducción de Guy Cellérier y Jonas Langer), en W. Kessen (Editor), Handbook of child psychology, 4th edition, Volume 1: History, theory, and methods (New York: Wiley, 1983), p. 125. Cellérier y Langer traducen abstraction réfléchissante al inglés "reflective" abstraction. Aunque la traducción es poco común en inglés, se distinguen entre: abstracción réfléchissante (reflectiva) y abstracción réfléchie, (reflejada). Recuperado de (http://hubcap.clemson.edu/~campber/index.html en junio, 2006. Siles A. (2006) Estrategias en la resolución de problemas de precálculo en el segundo de primaria (primera parte), en su Anexo 6. Referirse al Anexo 1, (CUADRO 1) Correspondencia Término a Término, donde se incluye una muestra de los contenidos de la prueba, la consigna y el ejemplo de una respuesta dada. En las observaciones realizadas, se incluye el número de caso, las iniciales del estudiante y la edad en años y meses, a la fecha de aplicación de la prueba, utilizando similar nomenclatura que Jean Piaget en varios de sus estudios. Referirse al Anexo 2 (CUADRO 3) Seriación: Elementos iguales (ascendente y descendente); donde se incluye una muestra de los contenidos de la prueba, la consigna y una respuesta dada. Referirse al Anexo 3 (CUADRO 6) Adición y Sustracción con cifras, donde se incluye una muestra de los contenidos de la prueba y la consigna. ANEXO 1 B. CORRESPONDENCIA TERMINO A TERMINO: OBJETO A CANTIDAD C. CLASIFICACIÓN ANEXO 2
D. SERIACIÓN: ELEMENTOS IGUALES Y DESIGUALES
D.2. ELEMENTOS DESIGUALES (figuras) (CUADRO 4) ANEXO 3 E. CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD: SEGUNDA PARTE: PRUEBA DE CÁLCULO D. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN CON CIFRAS: Consigna: Encuentra cuál operación (señalando la columna derecha) da este resultado (columna izquierda). Traza una línea para cada resultado.
ANEXO 4 E. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN: Consigna: Haz la operación y encuentra el resultado. Puedes utilizar las monedas. ESTRATEGIAS MÁS UTILIZADAS EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE CÁLCULO (CUADRO 8)
ANEXO 5 (CUADRO 10) ANEXO 6 RESULTADOS: PRUEBA DE CÁLCULO: (MARZO, 2006) D. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN (CUADRO 12)
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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