ESTRATEGIAS EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PRECÁLCULO EN EL SEGUNDO DE PRIMARIA

Primera Parte:
Experiencias recogidas en dos escuelas urbanas de Bolivia

{cb_profile=aneliz_siles}Lic. Aneliz Cecilia Siles Torrelio{/cb_profile}
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Candidata a Doctor en Ciencias de la Educación,
Centro de Estudios de Posgrado e Investigación
Universidad San Francisco Xavier de Chuquisaca.

«Todos los humanos nacen iguales, pero es la última vez que lo son»     A. Lincoln

Resumen
El artículo a continuación, es el resultado de una investigación descriptiva realizada a partir de los datos y conclusiones obtenidos en un estudio anterior, en el cual se aplicó una Prueba de Precálculo[01] a una muestra de estudiantes en la ciudad de La Paz[02] . 
Se realizó una réplica con un grupo de estudiantes de ocho años de edad, de similares características (colegio privado, cursando el Segundo de Primaria), en la ciudad de Santa Cruz en febrero de 2006.   La contrastación de los resultados nos muestra que existen características invariantes del pensamiento, en la etapa de operaciones concretas, según la teoría de Jean Piaget, en un lugar y tiempo distintos.
Por otro lado, se ponen en evidencia, además de las nociones de precálculo, la diversidad de estrategias que los estudiantes aplican en la resolución de problemas nuevos en el primer ciclo de primaria, específicamente en el Segundo de Primaria.

Palabras clave: Estrategias cognitivas / Matemática / Operaciones / Metacognición / Problema / Concepto de número / Nociones precálculo / Constructivismo / Zona de Desarrollo Próximo

1. Introducción
La indagación, tanto teórica como empírica, sobre aspectos relacionados con desarrollo del concepto de número, y las estrategias que utilizan los niños y niñas que cursan el primer trimestre del Segundo curso de Primaria, nos permite aproximarnos al conocimiento sobre aspectos del desarrollo del pensamiento infantil en dos ciudades importantes de Bolivia: Santa Cruz y La Paz. 

De este modo, partiendo de un estudio anterior, en el cual se señalaban diferentes líneas de investigación, el presente se llevó a cabo sobre las siguientes interrogantes en cuanto al uso de estrategias en la resolución de operaciones de precálculo:

A fin de realizar la contrastación de los resultados obtenidos en la primera investigación (ciudad de La Paz, 1997), se seleccionó a un grupo de estudiantes de un colegio privado, los cuales han cursado con anterioridad el nivel inicial (Pre-Kinder y Kinder) y el Primer grado de Primaria (al igual que el grupo seleccionado en 1997), para limitar así el uso de estrategias en la resolución de problemas, a aquellas que sean especialmente fruto de su propia comprensión intuitiva de la realidad.

Para la indagación empírica, se utilizó un instrumento validado de recolección de datos y observación, denominado Prueba de precálculo (nociones de seriación, clasificación, correspondencias y conservación de la cantidad, principalmente)con algunas modificaciones necesarias de actualización (tipo de presentación y graficación).  En el caso de la prueba aplicada en 1997 en La Paz, y cuyos resultados ya han sido publicados[03] , no se hizo hincapié en el uso de estrategias, pues las respuestas verbales de los estudiantes no fueron consignadas por escrito y carecían de importancia significativa en dicha investigación.  Por este motivo, la contrastación de ambos grupos se realizó de manera general y cualitativa, y sus resultados se pueden apreciar de forma gráfica para una apreciación visual más objetiva, como puntajes promedio obtenidos, en el Anexo 6.

Sin embargo, el objetivo principal de la presente investigación es el detectar el uso de estrategias, por lo cual se tuvo especial cuidado en tomar nota de todos los comentarios realizados por los alumnos y la forma en que ellos mismos explican verbalmente el proceso que los llevó a responder de una cierta manera, reconociendo sus propias estrategias (pensando en voz alta).

La muestra ha sido intencionalmente seleccionada entre estudiantes comprendidos entre los 7 y medio, y los 8 años de edad, con los siguientes objetivos secundarios:

Primero, contrastar los resultados obtenidos en una investigación anterior (año 1997), en la ciudad de La Paz[04], con un grupo de estudiantes de características educativas similares en la ciudad de  Santa Cruz (año 2006), y verificar la validez del instrumento elaborado. 

Segundo, identificar las diferentes estrategias que utilizan los estudiantes a esta edad en la resolución de problemas de precálculo, verificando de este modo la presencia del estadio de pensamiento concreto, según la teoría constructivista del desarrollo cognitivo.

En ambos casos, se aplicó la Prueba de Precálculo a 11 estudiantes del total de alumnos del aula (40% en abril de 1997 y 31% en marzo de 2006).  Los niños fueron examinados en los periodos de clase y llamados fuera del aula al azar; tratando de tener igual número de varones que de mujeres, pero sin la clara intención de establecer conclusiones de género.

Al identificar y caracterizar estas estrategias, y aproximarnos al conocimiento sobre cómo se utilizan las mismas entre los niños y niñas, se pretende también proporcionar los lineamientos que nos permitan continuar otras investigaciones en el mismo campo.

2. La construcción del concepto de número.
Es necesario, primeramente, definir los referentes teóricos bajo los cuales se realizó esta indagación.  En primer lugar, el proceso que lleva a la construcción del concepto de número, que se diferencia del mero reconocimiento del nombre de los números, está sistematizado y explicado minuciosamente por el epistemólogo suizo Jean Piaget en varios de sus libros[05] conjuntamente sus colaboradores[06], a lo largo de más de 6 décadas de estudio. 

Es así que, partiendo de esos hallazgos y conclusiones que llevan a la teoría denominada como epistemología genética, conocemos que el niño construye el concepto del número por etapas o estadios de desarrollo cognitivo, de las cuales, para el presente estudio nos interesan principalmente dos:

La primera de ellas está basada en que el niño únicamente cree en lo que la percepción de los objetos y fenómenos que lo rodean le brindan, sin previo análisis ni proceso deductivo o inductivo.  Por lo tanto, Piaget denomina a esta primera etapa como Pre-lógica (o preconceptual), donde la característica es, justamente, el concepto pre-numérico y cuya edad en los niños estaría situada en la pre-escolar (nivel inicial) hasta antes de los 7 años con lo que implica el dominio de las nociones de precálculo.

A ésta, le sigue una etapa en la cual el niño ya puede organizar jerárquicamente, realizar sistemas de inclusiones (seriaciones y clasificaciones) simétricas y asimétricas, y reconocer las series numéricas, y que es la etapa que Piaget denomina como Lógica (o de operaciones concretas), la misma que permite un desarrollo cognitivo suficiente para comenzar a comprender y realizar operaciones de adición y sustracción, es decir, de cálculo aritmético.

La primera de estas etapas es el resultado de la intuición y del desarrollo psíquico del ser humano en la primera etapa de su vida.  La segunda, es resultado de la maduración de la anterior más la capacidad de distinguir diferentes relaciones entre los objetos, sus relaciones simétricas y asimétricas, sus clasificaciones y seriaciones diversas, la fusión o inclusión de sus elementos que puede ser representado en una secuencia numérica ordinal o cardinal.  Es decir, la capacidad de darse cuenta de la relación existente entre el número y la cantidad que éste representa, que corresponde a los primeros años de enseñanza básica (Primer Ciclo de Primaria).   De aquí en adelante, gracias a las consecutivas construcciones que el niño hace en su desarrollo cognitivo, llega a ser capaz también de multiplicar y dividir cantidades discretas.

El concepto de número es principalmente, desde la concepción constructivista, el resultado de operaciones lógicas de seriación y clasificación.  Para ello, es necesario también que el niño se familiarice con el vocabulario relacionado a las operaciones que realizará con los números (mayor que, menor que, antes, después, más que, menos que, separar, juntar, etc.), lo que compone un conjunto de nociones precálculo.

La contrastación empírica que se realizó en el presente estudio, nos permite conocer algo más acerca del desarrollo cognitivo de un grupo de estudiantes en las edades entre 7 y 8 años, de colegios urbanos bolivianos, en un siglo diferente y bajo circunstancias educativas diferentes que las que tenían los niños observados por Piaget.

2.1. El aporte de la educación formal al desarrollo del concepto de número.
Dado que el presente estudio toma en cuenta sólo a estudiantes, resaltamos la importancia que tiene la educación formal desde el punto de vista de la continuidad, seguimiento y control de los aprendizajes y, además, porque proporciona a los investigadores el laboratorio natural para realizar estudios de este tipo. 

De esta manera, los aportes del enfoque socio-cultural de Lev Vigotsky (1896-1934), que aunque en muchos aspectos contradicen a Piaget[07],  desde el punto de vista de la interacción del estudiante con los otros estudiantes y con el docente, dentro del medio escolar denominado como la zona de desarrollo próximo (ZDP), definida por Vigotzky como la distancia existente entre lo que el sujeto puede lograr por sí mismo (desarrollo real) y lo que puede lograr con la ayuda de otros (desarrollo potencial).  Es decir, se intentó observar el desarrollo real de los estudiantes, observando las estrategias en la resolución de problemas de precálculo.

Por otro lado, dado que la prueba aplicada es algo nuevo para los estudiantes, se rescata la importancia que tiene el conocimiento previo.  Como mencionaba  Ausubel[08], el estudiante debe manifestar (...)”una disposición para relacionar sustancial y no arbitrariamente el nuevo material con su estructura cognoscitiva, como que el material que aprende es potencialmente significativo para él, es decir, relacionable con su estructura de conocimiento sobre una base no arbitraria” (Ausubel;1983: 48).

Ausubel coincide con Piaget  en que el aprendizaje depende de la estructura cognitiva previa que se relaciona con la nueva información o conocimiento.  De igual manera, la corriente constructivista privilegia al método como el componente didáctico principal, pues toma en cuenta el estadio o periodo en el cual se encuentra el estudiante para proporcionarle determinados contendidos. 

Es así como, a través de la enseñanza formal, el niño va estructurando su pensamiento de manera gradual.  A la edad de ocho años, por lo general, se encuentra situado en un período en el que es capaz de reconocer la mayoría de los conceptos de precálculo, necesarios para seguir construyendo el conocimiento.  Para los contenidos de la prueba aplicada se tomó muy en cuenta la edad cronológica y cognitiva de los estudiantes, además de los elementos necesarios (itemes) para observar la presencia del pensamiento concreto.

2.2. El uso de objetos manipulativos hacia el desarrollo del pensamiento reversible.
Pese a que la educación formal se encarga de favorecer el desarrollo cognitivo, como se mencionó anteriormente, no todos los conocimientos que los estudiantes adquieren son producto directo de lo que la escuela, o el medio educativo formal, les proporciona.  Muchos de ellos son adquiridos a partir de una necesidad que surge en algún momento de su vida cotidiana y se convierten en un aprendizaje no sistematizado, que luego formará parte de sus estrategias para la resolución de diversos problemas, incluso dentro de la escuela.

Como se describe en los estudios de Piaget, al comienzo de la escolaridad, el estudiante se encuentra en un estadio pre-conceptual en el cual lo principal será la percepción que tengan los niños de los objetos, se reconoce un tipo de pensamiento “transductivo”, cuando la relación entre los objetos es de uno a uno y se observa la imposibilidad aún de realizar otro tipo de relaciones más complejas entre los objetos, premisas o ejemplos.  Piaget define el pensamiento transductivo como una relación de conjuntos de datos en formas no lógicas, es decir, que el razonamiento transductivo va de lo particular a lo particular.

Ya casi al final del primer ciclo de primaria, el pensamiento se encamina hacia un razonamiento de tipo “deductivo-inductivo” aunque requiere todavía del apoyo de objetos concretos a los que denominamos objetos manipulativos.  En este momento, el estudiante podrá ya realizar generalizaciones a partir de los ejemplos o premisas dados (inducción) como es el caso de las clasificaciones por color, forma, y otras más complejas; o bien encontrar algunos ejemplos a partir de las generalizaciones dadas (deducción); lo cual se dará recién a partir de los once o doce años de edad.

El uso de objetos manipulativos en los primeros años de escolaridad, dado el estadio del desarrollo cognitivo que tienen los estudiantes [09], tiene gran importancia para favorecer el desarrollo mismo del pensamiento hacia un tipo de pensamiento reversible, que implica la posibilidad de recorrer un camino (una serie de razonamientos) y luego hacer el camino inverso, para hallar nuevamente el punto de partida, lo que permite al niño realizar operaciones de adición y sustracción. De igual manera, el uso de dinero, principalmente monedas, es común desde los primeros años de escolaridad y se convierte en un objeto manipulativo que les proporciona un conocimiento no formal.

Por otro lado, los principales componentes que se toman en cuenta para las nociones de precálculo mencionadas en este estudio, como parte del instrumento de recolección de datos, son: seriación, clasificación, correspondencia término a término y conservación de la cantidad, además de las nociones topológicas y temporales, que son la base del pensamiento reversible.   Es por esta necesidad de elementos manipulativos, que en la aplicación de la prueba de precálculo se les facilitó, a los estudiantes observados, una cantidad de monedas de diversos cortes, las cuales fueron utilizadas por ellos simplemente como fichas (unidades) y no así como moneda-valor, como se esperaba. 

3. Estrategias en la resolución de problemas de precálculo.
En la revisión bibliográfica sobre las diferentes  estrategias que utilizan los estudiantes, encontramos los aportes de una sistematización realizada por la Dra. Regia Alicia Sierra Salcedo[10] sobre autores que se refieren al tema.  Como definición, éstos refieren que una estrategia es “lo que utiliza el hombre para pensar, crear, aprender y desarrollar su talento en determinadas esferas”, citando en su investigación a  De la Torre, S. (1987 y 2000);  Sánchez, M. (1992); González, A. (1989); Chi y Glaser (1986) y Mitjáns, A. (1997).

En su mayoría, los autores describen lo que es una estrategia, pero son pocos los que aportan la parte operativa[11] con el fin de favorecer su aplicación y mejorar el proceso de enseñanza aprendizaje en el aula o servir de base para la elaboración de un modelo educativo.

Algunos de los investigadores que se han dedicado al estudio de las estrategias vinculadas a un dominio específico del conocimiento, lo han hecho en el campo de la escritura: Camps y Castelló (1996);  en el de la comprensión de la lectura: Alonso Tapia y Carriedo (1996); en el de las Ciencias de la Naturaleza: Pozo y Gómez (1996), y en el campo específico de la Matemática: Barberá y Gómez-Granell (1996).

Entonces, para el presente estudio definimos estrategia como “el procedimiento mediante el cual se organiza de una manera secuencial una determinada acción con un fin específico”, como es el de resolver problemas de precálculo.  Entonces debemos tomar en cuenta la experiencia obtenida en la aplicación de la prueba y consignar también, como parte de las estrategias, a aquellas respuestas erróneas.

Sobre la base de los estudios de Piaget (Paris, 1919[12]), quien se adentrara en el campo de la psicología, a partir de observar las regularidades en las respuestas erróneas que los niños daban a los test de inteligencia, para identificar los patrones que conducían a tales respuestas, es que se ha seguido la misma línea en busca de las estrategias que utilizan los estudiantes de segundo de primaria observados.

Es así que, en muchos casos, la respuesta escrita que dan está equivocada desde el punto de vista de la teoría y lo que se espera que hagan.  Sin embargo, la justificación verbal para tal respuesta es totalmente válida desde el punto de vista del estudiante observado y según su desarrollo cognitivo.  Estos detalles se analizan más adelante.

3.1. El uso de estrategias cognitivas
Debemos enfatizar en el hecho de que una estrategia no es algo rígido, sino más bien algo flexible, susceptible de ser modificada y procesada a partir de los descubrimientos que el sujeto realice en su aplicación, dado que en muchos casos, el sólo hecho de verificar por sí mismo la estrategia utilizada, le permite reconocer sus aciertos y errores.

Sin embargo, el hecho de comprender y poder resolver un problema no le confiere al estudiante un control sobre su aprendizaje[13], sólo le permitirá reconocer las estrategias que le son de utilidad y que le permiten seguir aprendiendo.  La regulación de sus propios procesos es un elemento importante para el autoaprendizaje y para la consiguiente motivación a seguir aprendiendo, en busca del equilibrio cognitivo que va generando intencionalmente él mismo.

De ahí la importancia de que cada estudiante pueda reconocer las estrategias que utiliza para valorarla y tomar decisiones que le permitan continuar, corregir, cambiar, etc., el uso de una determinada estrategia.

3.2. El proceso de metacognición.
Coincidimos con los investigadores[14] que establecen una distinción clara entre dos facetas de la metacognición: Por un lado, conocer los contenidos del propio conocimiento y, por el otro, conocer los procesos que se aplican a esos contenidos.  Sin embargo, también son dos aspectos de una misma materia, pues el conocimiento es a la vez un proceso y un producto.

Es así que definir lo que se entiende por metacognición resulta bastante complejo. El uso del término es de muy reciente data en el campo de la educación, iniciándose como objeto de estudio en sicología[15] con las investigaciones sobre algunos procesos cognitivos, particularmente aquellos involucrados en la memoria (almacenamiento de contenidos y su proceso).  En el campo de la educación se ha aplicado para referirse a todos los procesos que involucra el aprender a aprender (atención, comprensión, memoria, lectura, resolución de problemas y las estrategias utilizadas).

Por lo tanto, para la presente investigación, definimos la metacognición como el “conocimiento de los propios procesos cognitivos y de los aspectos relacionados con ellos”.  Decimos también que la metacognición implica en la persona la “conciencia sobre sus procesos y sus estrategias cognoscitivas y el desarrollo de habilidades para controlarlos de forma conciente y deliberada” (como planificar, organizar y modificar), a partir de los resultados que obtiene con la aplicación de esas estrategias.

4. Regularidades en la resolución de problemas de precálculo.

Hemos observado, en la aplicación de la prueba de precálculo que la mayoría de los estudiantes se encuentran todavía en una especie de “limbo cognitivo[16]”, pues todavía no pueden adelantarse a dar respuestas a partir de la observación y la experiencia que tienen, llevados por un análisis lógico, y se guían mayormente por la intuición, es decir, sólo por lo que son capaces de percibir y, en algunos casos, entrando en contradicción con lo que conocen.

La aplicación de la prueba se realizó bajo circunstancias de incertidumbre (no conocían la prueba de antemano), creando intencionalmente una situación de desequilibrio cognitivo, a través de las diferentes secciones y con la clara consigna de que el resultado que se obtuviera no estaría necesariamente “bien” o “mal”, a fin de reducir la  innecesaria  tensión que genera en los estudiantes el someterse a una prueba de cualquier tipo.

Es así que carece de importancia real el hecho de detectar la cantidad de aciertos[17] que tienen los estudiantes, sino que, a través de las respuestas dadas, se pretendía identificar el uso de las estrategias utilizadas en la resolución de los diferentes problemas de precálculo, a la par de el estadio de desarrollo cognitivo adecuado para su edad y nivel académico. 

Una regularidad observada es que en la resolución de problemas de precálculo, donde los estudiantes demuestran su conocimiento de las nociones de precálculo (mencionadas anteriormente en el punto 2.2), existe cierta tendencia a utilizar los dedos de la mano como el objeto manipulativo más próximo y confiable.

La  mayoría de los estudiantes observados, “utilizan los dedos”, pero con cierto temor, de ahí que la estrategia cambia a “Cuenta con la vista, tratando de esconder los dedos que está utilizando” que es la regularidad más evidente y, junto a otras, esta estrategia está caracterizada en el Anexo 1. 

4.1. Las nociones de precálculo en los estudiantes de Segundo de Primaria.
En la aplicación de la prueba, se destacan los aspectos más relevantes que determinan más claramente el estadio de desarrollo cognitivo en que se encuentran los estudiantes observados y la utilización de diversas estrategias cognitivas.

El análisis que se realiza está basado en la prueba aplicada a ambos grupos que cursan el segundo curso de primaria: en la ciudad de La Paz (1997) y en la ciudad de Santa Cruz (2006).

Noción de Cantidad[18]. Se consignan preguntas que requieren el conocimiento y comprensión de las palabras como: Muchas-pocas, algunos-ninguno, grande-pequeño, alto-bajo, lleno-vacío, largo-corto, grueso-delgado, ancho-angosto (estrecho), más que-menos que e igual que.

Algo que es interesante observar es cierta tendencia al mecanicismo al emitir las respuestas.  Es decir, si se sigue el orden de preguntas que se presenta en la prueba, los estudiantes responden a la consigna sin equivocarse, como haciendo una secuencia lógica de objetos contrarios que deben marcar (secuencia de opuestos).  Sin embargo, después del segundo estudiante observado, se tomó la decisión de cambiar aleatoriamente el orden de las preguntas, para evitar la secuenciación y respuesta automática. 

Es así que se les comienza a preguntar por las nociones: Señala cuál es el árbol más alto (A.3.2); señala cuál es la fruta más pequeña (A.3.1); señala cuál es el vaso más vacío (A.3.3.); señala cuál es el lápiz más corto (A.3.4.); señala cuál es la chalina más angosta (A.3.6.)  Y es aquí donde los niños ya no tienen forma de “adivinar” cuál de todas puede ser, entonces preguntan: “¿Qué es angosta?”, al cambiar la palabra por “estrecha” o “delgada”, entonces sí son capaces de responder correctamente y no de manera mecánica.

Correspondencias Término a Término[19].  Los estudiantes dieron respuestas acertadas en todos los casos, aunque no siempre la que se esperaba por parte de la investigadora.  Por ejemplo, cuando se les pregunta porqué existe esa relación entre un objeto y otro, ellos responden de diversas maneras, algunas de las respuestas más significativas que nos muestran un proceso metacognitivo de la respuesta, son las siguientes:
Inciso B.1.  Correspondencia entre: casa-perro, libreta-lapiceros, calzados-jugador, hombre-sombrero y piña-vaso.
Observación 7, M.G (8;2[20]):       “El sombrero va con los zapatos, porque son cosas para ponerse; el hombre con el jugador, porque uno está corriendo y el otro está tranquilo”.
Observación 6, M.D.L. (7;4): “Los calzados van con el sombrero, porque los dos son ropa; el hombre con el jugador, porque juega fútbol”.
Observación 4, N.C. (7;10): “Los calzados con el sobrero, porque son para ponerse; el hombre con el jugador, porque es el mismo hombre”.
En este caso, la respuesta verbal nos permite reconocer la lógica aplicada en la resolución del problema de precálculo y entender las razones de estas respuestas “erróneas”.

Otro de los aspectos representativos, en cuanto al uso de estrategias para resolver problemas, es la selección de respuestas en cuanto al orden en que los estudiantes comienzan a responder. Se puede observar que la regularidad es la de no siempre responder comenzando por la que aparentemente es la más fácil, sino por la que resulta, por el contrario, la más difícil.

En todos los casos, los estudiantes contaron todos los puntos (bolitas), incluso cuando quedaban sólo tres puntos para ser correspondidos con el número tres.  Se presume, por un lado, que no querían equivocarse al dar un resultado, y por otro, que no fueron capaces aún de predecir que el último tendría que ser el que faltaba.

Clasificación[21], que es uno de los aspectos más importantes en la teoría de Piaget, para verificar la presencia de estructuras cognitivas que llevan al desarrollo del “concepto de número”.   Dos estudiantes del grupo de Santa Cruz, dieron respuestas singulares a las preguntas sobre clasificación de objetos siguiendo la lógica del tamaño:
Inciso C.3. Clasificación por tamaño: Figuras y números (en esta parte no se toma en cuenta el valor del número sino su tamaño en cuanto a objeto o figura). Algunas respuestas relevantes por la justificación verbal que acompañan, son:
Observación 11, B.T.P (8;1)      “Estos son los más grandes, porque son los dos que van a la decena” (encierra los 9 y los 8, aunque su tamaño es visiblemente pequeño)
Observación 7, M.G (8;2):          “Son grandes porque tienen más números” (encierra los 7, 6, 9 y 8 de tamaños grandes, medianos y pequeños).
Debido a que la clasificación constituye una serie de relaciones mentales mediante las cuales se pueden realizar colecciones similares de objetos, se espera que el niño comprenda, en esta primera etapa, que la consigna va dirigida al tamaño que tienen dichos objetos, aunque algunos de ellos sean números. Sin embargo, puede ya observarse que algunos comienzan a diferenciar los objetos de los números por la cantidad representada en éstos últimos, y no sólo el tamaño que puedan tener.

En las siguientes partes, todos los niños realizaron colecciones o agrupaciones exactas con un criterio consistente, según la consigna dada (por color, por forma o ambos a la vez).  Sin embargo, no se consignan subclases de grupos para esta parte de la prueba, pues sólo pretendemos observar las estrategias en la realización de clasificaciones de clases.

Seriación[22], que es otro aspecto importante para el desarrollo del concepto de número, donde los estudiantes observados realizan series, simples y dobles, sin dificultad.  Sin embargo, la única dificultad o reto se presenta cuando tienen que realizar series desiguales, especialmente con figuras.  En algunos casos, los estudiantes deben escribir todos los números en la parte D.1.3. de la prueba, para saber cuál es el número mayor y cuál el menor de una serie desordenada de números (1 al 9).  Otros, en cambio, se dan cuenta que sólo pueden ser el 1 y el 9, ya sea de forma ascendente o descendente y no requieren escribir toda la serie.

En el caso del inciso D.2.1[23] donde los estudiantes deben continuar una serie de elementos desiguales (cuadrado grande, cuadrado pequeño, cuadrado grande, etc.) no se obtuvo ninguna respuesta errónea.  Solamente cabe destacar el caso de un estudiante C.E.C. (7;11) que preguntó: “¿Hay que hacerle las rayas también?”, al referirse a las uniones entre los cuadrados.

En la seriación D.2.2., de elementos desiguales, en la cual se muestran: 1 cuadrado, 1 círculo, 2 cuadrados,  2 círculos , 3 cuadrados..., todos los niños, con excepción de uno, se limitaron a copiar la serie desde el primer círculo en adelante, en lugar de continuarla:
Observación 10, M.F.M.F. (7; 9)     “Y así hasta que siga aumentando” (dibujó correctamente  3 círculos, 4 cuadrados y 4 círculos)
Se observa en este inciso, que los estudiantes prefieren realizar una serie partiendo del modelo, como si al copiar estuviesen más seguros de no equivocarse en la serie, o como si “seguir la serie” fuese igual a “continuar desde el principio” la repetición de la serie.

Conservación de la cantidad[24], que implica la habilidad cognitiva del niño para darse cuenta que una cantidad no varía por la forma en que está presentada.  Las representaciones mentales, permiten la noción de conservación, ya que el estudiante es capaz de imaginar el objeto de otra forma o de deducir de manera lógica, la respuesta, realizando una representación imaginaria del objeto presentado.

En el inciso E.1. se presentan dos figuras que representan dos cintas, aparentemente del mismo tamaño, pero una de ellas está ondulada.  La respuesta típica de los estudiantes fue la de, luego de comparar los extremos de ambas figuras, decir que eran iguales o, decir que b era más larga porque tenía una punta un poco más larga a la vista.  Otras respuestas interesantes, además de acertadas, fueron:
Observación 10, M.F.M.F.(7; 9)   “La b es más larga, porque la otra está doblada”
Observación 9, M.B.C. (7;6)         “La b, porque la otra está encogida”.
Observación 4, N.C. (7; 10)          “La b, porque se nota”.
Observación 1, R.A. (8; 1)            “La b, porque la punta rebasa la otra”

En cuanto a las respuestas dadas en el inciso E.2., sobre grupos de elementos iguales presentados de forma diferente, dada la consigna de “no contar” y decir dónde hay más bolitas (o uvas), todos los niños contestaron que en a había más bolitas.  Luego de pedirles que cuenten y se cercioren de la cantidad, quedaban sorprendidos al constatar que en ambos lados había la misma cantidad.  La percepción visual les inducía a dar una respuesta equivocada (pensamiento intuitivo o preconceptual).  En este inciso, algunas respuestas inesperadas fueron:
Observación 4, N.C. (7; 10):         “Conté con la vista, porque sino ¿cómo voy a saber? Parece que en a hay más porque están más juntas”.
Observación 8, (C.E.C.:7;11):      “Me pareció más fácil contar en b, porque están en grupos”.
Observación 6, M.D.L. (7;4):        “En a, porque aunque se reúnan, la línea es más que todo eso”. (Cuenta ambos grupos). “Veinte aquí y aquí veinte... ¡hay lo mismo!” (Muy sorprendido).
Observación 2, A.N. (7;11):          “En a, porque se ven muchos”
Observación 1, R.A. (8; 1):           “Los dos tienen 20, los conté.”

4.2 La resolución de problemas de precálculo.
Los resultados muestran la correspondencia entre la edad cronológica, los años de educación formal y el uso de estrategias cognitivas.  Se observa, en cuanto al estadio de desarrollo cognitivo, el traspaso de una forma de pensamiento intuitivo, guiado exclusivamente por la percepción sensorial (especialmente la vista) hacia una forma de pensamiento lógico, donde se comienzan a realizar las primeras deducciones e inducciones a partir de lo que se observa, se realiza por momentos, constatándose el “limbo cognitivo” en el que aún se encuentran.

Está claro que ninguno de los estudiantes observados cumple con el completo desarrollo de las nociones de precálculo, sin embargo, se puede ya decir que tienen un pensamiento lógico abstracto en transición, o lo que Piaget denominaría “reflected abstraction” o abstracción reflejada. Algunos autores lo mencionan como “abstracción reflexiva” referido al proceso de construcción del concepto de número[25].   El pensamiento, entonces, está en desarrollo y, según la teoría constructivista, se produce una asimilación del medio, o de la realidad del objeto que percibe a las estructuras existentes, y una acomodación de éstas al medio, al generarse una situación de desequilibrio cognitivo.

Por esta razón, las respuestas verbales y las explicaciones o justificaciones que los mismos niños dan sobre sus estrategias, nos aproximan a comprender cómo razonan y cuál es el procedimiento que siguen en la resolución de los problemas que se les presentan, aunque en muchos casos no implican que la respuesta dada sea necesariamente correcta.

El conocimiento y uso de las estrategias varía de un estudiante a otro, pero la generalidad se da en el uso de los dedos de la mano como primer instrumento de contar que tiene a su alcance.  Sin embargo, no se observa aún una estrategia metacognitiva, que permita al estudiante tomar conciencia de las estrategias que está utilizando, de cuáles le sirven y cuáles podría desechar.

4.3. Verbalización de una respuesta como inicio del proceso metacognitivo.
En la aplicación de la prueba a los estudiantes menores de 8 años, se les pidió que expliquen de manera verbal lo que hacían cuando resolvían un problema, registrándose las respuestas  a modo de anecdotario.  Al pedirles que explicasen el por qué de un camino u otro que habían tomado, también se observaron justificaciones que nos permiten acercarnos al pensamiento infantil, ya que la sola respuesta a los incisos de la prueba resulta insuficiente.

Sin embargo, lograr que el estudiante explique, justifique o haga el recorrido mental y lo verbalice, es muy difícil y en algunos casos, los estudiantes no supieron justificar sus respuestas o simplemente responden que ya lo sabían.  Esta toma de conciencia de los propios proceso cognitivos lleva cierto tiempo, al igual que el desarrollo del pensamiento preconceptual hacia uno lógico, que permita la resolución de problemas de cálculo, más adelante.

5. Conclusiones y nuevas líneas de investigación.
Una vez aplicada la prueba de precálculo y realizadas las observaciones individuales y su consiguiente registro, es importante tomar en cuenta las propias limitaciones que el niño o niña reconocen al resolver un problema de precálculo, que no había resuelto con anterioridad.

En el caso de la parte A. Noción de Cantidad, y la no comprensión del término “angosto”, nos lleva a concluir que muchas veces los niños responden erróneamente en las pruebas, porque no tienen la oportunidad de preguntar por el significado de algún término desconocido, aunque en algunos casos, son capaces de elaborar creativamente una respuesta.

En este caso se verifica en los estudiantes una capacidad  de pensamiento deductivo en desarrollo, que se observa a partir de la correspondencia que hacen entre la secuencia de las preguntas (opuestos) y las respuestas que posiblemente no podrían dar, si no supieran lo que buscan.  Responden, entonces, buscando la lógica de hallar el opuesto.  No preguntan por el significado de “angosto”, porque ya deducen que se trata del opuesto a “grueso” por cómo fueron las anteriores preguntas.

En cuanto a la clasificación por tamaños, los estudiantes tienden a agrupar tratando de encontrar la mayor semejanza posible entre los elementos de una clase y justificarlos (“porque tienen una marquita”).  Con ello se puede concluir que las estrategias que utiliza pueden ser  tanto producto de la ayuda que recibió, como producto de descubrimientos que él mismo realiza en su experiencia de aprendizaje y lo llevan a una forma personal de percibir el mundo, según su desarrollo cognitivo y las estructuras cognitivas existentes.

Por lo tanto, la ayuda que reciba del maestro debe estimular la independencia, creatividad y activismo en el estudiante, con el fin de que él mismo pueda resolver los problemas que se le presentan.  Recordemos que la Zona de Desarrollo Próximo, que señala Vigotzky, es el establecimiento de un nivel de dificultad que se constituye en un verdadero reto, un desequilibrio cognitivo, para que el estudiante logre resolver los problemas por sus propios medios, logrando que éste sea el verdadero protagonista de su proceso de aprendizaje y de su desarrollo cognitivo.

Para Piaget el concepto de número está relacionado principalmente con la seriación, la clasificación, la conservación de la cantidad y la correspondencia término a término, como se explicó anteriormente.  Por lo observado en la presente investigación, no necesariamente todos los niños  logran un desarrollo simultáneo de estas nociones, lo que verifica la validez del enfoque constructivista que justamente destaca que es un proceso de construcción que sigue el ritmo individual, según las experiencias de cada persona.

Como en todo proceso, el desarrollo se da por estadios a medida que las estructuras mentales se reorganizan en busca del equilibrio (incorporación de nuevos conocimientos a las estructuras existentes).  Esta asimilación y acomodación que se produce en las estructuras mentales, dada por la interacción con los objetos que rodean al estudiante, van en una constante búsqueda del equilibrio cognitivo, es decir, del aprendizaje.

Pese a que, en el segundo curso de primaria, el concepto de número debería ya estar incorporado en las estructuras cognitivas de los niños, se desconoce si los programas educativos de los colegios (que se suponen de línea constructivista) incluyen la observación de los estudiantes previa la iniciación del aprendizaje de operaciones de cálculo.

Contrastando los resultados obtenidos en la ciudad de La Paz (1997) con los obtenidos en la ciudad de Santa Cruz (2006) se pueden ver diferencias casi imperceptibles entre ambos grupos, como se observa en los cuadros del Anexo 6, con los puntajes promedio de cada grupo.  En ambos se observan las nociones más representativas como: Correspondencias término a término, Clasificación,  Seriación, Conservación de la cantidad con resultados similares.

Se concluye que después de diez años de aplicada la prueba en la ciudad de La Paz, los estudiantes de Santa Cruz muestran regularidades casi idénticas en las respuestas dadas y, contrastando con la teoría de Piaget, se hace evidente que el desarrollo cognitivo no depende del medio, sino que el desarrollo cognitivo ha de facilitar el aprendizaje al ir preparando las estructuras mentales necesarias.

En cuanto al uso de ciertas estrategias, se observó que, en su mayoría, los estudiantes utilizaron estrategias no relacionadas directamente con sus aprendizajes escolares, por lo que, concluimos en denominarlas “estrategias intuitivas”, ya que provienen de la necesidad de cada niño de resolver satisfactoriamente los problemas que se le presentan (tal es el uso de los dedos y las relaciones que establecen entre lo conocido y lo nuevo por conocer.) 
En este sentido, la principal estrategia observada fue la de contar por unidades (ya sea con los dedos o apuntando los objetos).  Otra estrategia que utilizaron fue la del conteo de dos en dos y el conteo con la vista.

Otras estrategias utilizadas deberían relacionarse con los aprendizajes escolares, sin embargo, pese a que se les dio la posibilidad de escribir y borrar, ninguno realizó conteo de palotes (u otras marcas de apoyo) para resolver los problemas de correspondencia de números a objetos o viceversa (inciso B.2 y B.3).  Otra forma de conteo fue la de agrupar por cómo aparecen ante su vista (inciso G.3. Cardinalidad, conjuntos) donde pueden contar por grupos haciendo “dos más dos” o “dos más tres”. 

En el  cuadro del Anexo 1 se observa que en su mayoría los estudiantes prefieren contar con la vista, aunque eso signifique equivocarse en la cuenta, pero tratan de no utilizar el dedo (o el marcador para escribir) para señalar cada objeto que han de contar.

Se concluye entonces, sobre el uso de estrategias, que los niños no utilizan una única estrategia, por lo observado en relación a la flexibilidad en su aplicación.  Pudieron alternar entre una y otra estrategia a medida que la prueba les exigía una respuesta diferente, o aplicar dos estrategias para resolver un mismo problema.

Este estudio nos lleva a proponer nuevas líneas de investigación, como la de indagar sobre los diferentes tipos de estrategias que utilizan los niños en la resolución de problemas más complejos, como los de cálculo (operaciones básicas), a partir de las necesidades que surgen en su aprendizaje.

Por otro lado, nos cuestionamos porqué durante tanto tiempo nuestra la educación formal ha rechazado el uso de los dedos para el cálculo, con la excusa de que esto representa un impedimento para lograr el cálculo mental.   ¿Podrá ser que el uso de los dedos facilite la comprensión de las operaciones de adición y sustracción?

El aspecto de las nociones precálculo y su relación con la resolución de problemas de cálculo (adición, sustracción y multiplicación y división).  Es decir si existe una correspondencia directa entre el desarrollo adecuado de las nociones precálculo con la capacidad en la resolución de problemas de cálculo en el Segundo de Primaria.

ANEXO 1
CARACTERIZACION DE LAS ESTRATEGIAS (PRECÁLCULO)

ANEXO 2
PRIMERA PARTE: PRUEBA DE PRECÁLCULO
(Muestra de algunos itemes de la prueba)

A.3 (1 a 6) Consigna: Marca cuál es el más/menos (grande, pequeño, alto, bajo, lleno, vacío, largo, corto, grueso, delgado, angosto)

B. CORRESPONDENCIA TERMINO A TERMINO: OBJETO A OBJETO
B.1. Consigna:  Si la casa va con el perro, ¿con cuál corresponden los demás?

Las respuestas, con variaciones que dieron los niños, son como las que se muestran, justificando verbalmente su elección.

ANEXO 3
PRIMERA PARTE: PRUEBA DE PRECÁLCULO
B. CORRESPONDENCIA TERMINO A TERMINO:  OBJETO A CANTIDAD
B.2. Consigna: Une los números con la misma cantidad de bolitas.  Como estas seis bolitas, con el número seis.

B. CORRESPONDENCIA TERMINO A TERMINO:  CANTIDAD A OBJETO
B.3. Consigna: Ahora une los números con la misma cantidad de bolitas.  Como este cinco con las cinco bolitas.

Se muestra  con los números en rojo, el orden en el que los estudiantes escogen resolver cada una de las preguntas.  La línea marcada con punteado es el ejemplo dado en la prueba.

ANEXO 4
PRIMERA PARTE: PRUEBA DE PRECÁLCULO

C. CLASIFICACIÓN: TAMAÑO
Consigna: Encierra con una línea los números más grandes (C.3.1.).  Encierra con una línea los círculos más pequeños (C.3.2.).

Esta es una muestra de las respuestas esperadas en cada caso: “los números más grandes” y los “círculos más pequeños”.

D. SERIACIÓN: ELEMENTOS IGUALES Y DESIGUALES
D.1. ELEMENTOS IGUALES (ascendente y descendente)
Consigna: Ordena esta serie de números del menor al mayor (D.1.3. a).  Ordena esta serie de números del mayor al menor (D.1.3. b).

Respuestas acertadas dadas por los estudiantes observados.

ANEXO 5
PRIMERA PARTE: PRUEBA DE PRECÁLCULO

D.2. ELEMENTOS DESIGUALES (figuras)
Consigna:  (D.2.1.)Fíjate en la serie: cuadrado grande, cuadrado pequeño (repetir), ¿Cómo sigue? (D.2.2.).  Ahora fíjate en esta otra serie, cuadrado y círculo, dos cuadrados y dos círculos, tres cuadrados y ... ¿Qué continúa? (tres círculos).

Respuestas que dieron los estudiantes observados, que se consignan como no acertadas en el inciso D.2.2.

E. CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD: LONGITUD, CONJUNTOS Y OBJETOS
E.1. LONGITUD
Consigna:  Observa estas dos cintas. ¿Cuál es la más larga? ¿Por qué?

E.2. CONJUNTOS
Consigna: ¿Dónde hay más bolitas, en este vaso de la izquierda (señalar) o en estos vasos de la derecha (señalar)? Dime sin contarlos. (Luego se pueden contar para comprobar la respuesta)

ANEXO 6
                                             
CUADROS COMPARATIVOS

DATOS OBTENIDOS EN LA PRUEBA DE PRECALCULO

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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